Blatt · Schwelle
Schwelle — wann aus vielen Teilen ein Ganzes wird
Streue zufällig Steine auf ein Gitter. Bei wenigen entstehen kleine Inseln, bei vielen ein durchgehender Teppich. Dazwischen liegt kein sanfter Übergang, sondern eine Schwelle: Unterhalb bleibt alles zerstückelt, oberhalb hängt fast alles zusammen — und die Grenze wird umso schärfer, je größer das Gitter ist. Dieses Blatt misst diese Schwelle selbst nach, ohne sie zu kennen. Und aus der Schärfe des Übergangs fällt eine Zahl heraus, die nirgends im Code steht.
„Schwelle messen" oben zeichnet hier für drei Gittergrößen ein, wie oft ein zufälliges Gitter durchlässig ist. Je größer das Gitter, desto steiler die Kurve — und alle gehen durch denselben Punkt.
| Gitter | Breite des Übergangs | mal so schmal |
|---|
„Schärfe messen" oben misst, über welchen Bereich von Anteilen die Durchlässigkeit von 10 % auf 90 % steigt — für immer größere Gitter.
Zuerst das Unspektakuläre: dass die Haufen richtig gefunden werden — geprüft gegen eine zweite, ganz anders gebaute Suche. Dann das Eigentliche: die Schwelle, die hier gemessen und mit dem Literaturwert verglichen wird, und die Schärfe des Übergangs, aus der ein kritischer Exponent fällt, den niemand hineingeschrieben hat.
noch nicht geprüft
Wo das vorkommt
Überall, wo aus vielen kleinen Verbindungen eine große werden kann: Wasser durch Kaffeepulver (daher der Name), Strom durch ein Gemisch aus Leitern und Isolatoren, Feuer durch einen Wald, ein Gerücht durch eine Stadt. Immer dieselbe Frage — ab wann hängt es zusammen?
Warum es eine scharfe Grenze gibt
Weil ein Haufen wachsen kann, indem er wächst: Jedes zusätzliche besetzte Feld am Rand schafft neue Ränder. Unterhalb der Schwelle versiegt das, oberhalb schaukelt es sich auf. Genau an der Grenze gibt es Haufen jeder Größe — das Bild sieht dort auf jeder Vergrößerungsstufe gleich aus.
Die Zahl, die niemand ausrechnen kann
Für dieses Gitter ist die Schwelle 0,59274605… — und es gibt keine Formel dafür. Sie ist nur numerisch bekannt, auf viele Stellen genau, aber ohne geschlossenen Ausdruck. Für andere Gitter gibt es dagegen exakte Werte, etwa 1/2 für Kanten auf dem Quadratgitter oder 2 sin(π/18) für das Dreiecksgitter.
Eine einzelne HTML-Datei. Kein Build, keine Bibliothek, nichts verlässt den Browser. Alle Blätter: ssims437.github.io