Blatt · Grenzen
Vorhersage — wie weit ein Rechner in die Zukunft sieht
Zwei Pendel, dieselben Gleichungen, derselbe Rechner. Der Unterschied im Startwinkel beträgt ein einziges Bit — die kleinste Zahl, die eine Fließkommazahl überhaupt trennen kann. Nach ein paar Sekunden haben die beiden nichts mehr miteinander zu tun. Das ist kein Rechenfehler: es ist die Grenze der Vorhersagbarkeit, und sie lässt sich messen, ausrechnen und im Voraus angeben.
die erste Bahn · die zweite, im Startwinkel um den gewählten Betrag daneben. Solange sie sich decken, sieht man nur eine.
Senkrecht steht der Abstand der beiden Zustände, logarithmisch — eine Gerade bedeutet also exponentielles Wachstum. Die Steigung ist der Lyapunov-Exponent: die Zahl, die sagt, wie schnell aus einem winzigen Unterschied ein völlig anderer Verlauf wird.
Dasselbe einfache Pendel, drei Integratoren, dieselbe Schrittweite. Ein reibungsfreies Pendel darf keine Energie verlieren oder gewinnen — was die Verfahren daraus machen, steht hier.
| Startgenauigkeit | brauchbar bis |
|---|
Gemessen am Lorenz-System, dem Standardfall der Chaosforschung — dort ist der Literaturwert bekannt und die Messung damit überprüfbar.
Drei Gleichungen, aufgeschrieben 1963 für ein Wettermodell mit zwölf Variablen, das Lorenz auf drei eingedampft hatte. Die Bahn kreuzt sich nie und wiederholt sich nie — und wo sie als nächstes hinspringt, hängt an Stellen, die keine Messung je erreicht.
Dieses Blatt behauptet zwei Dinge, die sich widersprechen könnten: dass die Rechnung vollständig deterministisch ist — gleiche Eingabe, bitgleiche Ausgabe — und dass ihr Ergebnis trotzdem nicht vorhersagbar ist. Beides wird hier nachgewiesen, dazu der gemessene Lyapunov-Exponent gegen den Literaturwert, die Ordnung des Verfahrens, das Energieverhalten dreier Integratoren über Millionen Schritte — und die Vorhersage der Vorhersagegrenze selbst.
noch nicht geprüft
Warum bessere Messgeräte kaum helfen
Der Fehler wächst wie e^(λt). Eine tausendfach genauere Ausgangsmessung
verschiebt den Horizont nur um ln(1000)/λ — beim Lorenz-System sind das rund
siebeneinhalb Zeiteinheiten. Exponentielles Wachstum lässt sich nicht mit Geld
bezahlen: für jede weitere Stunde Vorhersage braucht es eine Größenordnung mehr Genauigkeit.
Deterministisch und unvorhersagbar
Das ist kein Widerspruch, sondern der ganze Punkt. Die Gleichungen enthalten keinen Zufall; wer denselben Startwert einsetzt, bekommt bitgleich dasselbe heraus. Nur ist der Startwert nie exakt bekannt — und was in der siebzehnten Stelle steht, entscheidet irgendwann darüber, ob das Pendel links oder rechts herum überschlägt.
Welches Verfahren lügt wie
Euler verliert oder gewinnt Energie ohne Grenze — bei diesem Pendel wächst sie auf das Zwanzigfache. Runge-Kutta 4 ist um Größenordnungen genauer, driftet aber stetig in eine Richtung. Der symplektische Schritt ist der ungenaueste von Schritt zu Schritt und trotzdem der einzige, dessen Fehler beschränkt bleibt: er schwankt und läuft nicht davon.
Eine einzelne HTML-Datei. Kein Build, keine Bibliothek, nichts verlässt den Browser. Alle Blätter: ssims437.github.io